Propriétés algébriques de l'argument

Modifié par Clemni

P roposition

Soit  z et  z deux nombres complexes non nuls. Soit nN . On a :

  • arg(z×z)arg(z)+arg(z) [2π]
  • arg(zn)n×arg(z) [2π]
  • arg(1z)arg(z) [2π]
  • arg(zz)arg(z)arg(z) [2π]

Démonstration

On note z=x+iy et z=x+iy avec x, y, x et  y des réels.

On note θ  un argument de  z et θ un argument de z , si bien que :
z=|z|(cos(θ)+isin(θ))   et   z=|z|(cos(θ)+isin(θ)).

  • Argument d'un produit

 On a :
zz=|z|(cos(θ)+isin(θ))×|z|(cos(θ)+isin(θ))=|zz|(cos(θ)+isin(θ))(cos(θ)+isin(θ))=|zz|(cos(θ)cos(θ)+icos(θ)sin(θ)+isin(θ)cos(θ)sin(θ)sin(θ))=|zz|(cos(θ)cos(θ)sin(θ)sin(θ)=cos(θ+θ)+i(sin(θ)cos(θ)+sin(θ)cos(θ))=sin(θ+θ))=|zz|(cos(θ+θ)+isin(θ+θ))
d'après les formules d'addition.

On note α un argument de zz . On a alors : zz=|zz|(cos(α)+isin(α)) .

Par unicité de la forme algébrique, on en déduit que :
cos(α)=cos(θ+θ)   et   sin(α)=sin(θ+θ)
donc αθ+θ [2π] , autrement dit arg(zz)arg(z)+arg(z) [2π] .

  • Argument d'une puissance

Montrons par récurrence que, pour tout nN , arg(zn)narg(z) [2π] .

Initialisation
Par convention, pour tout  zC, z0=1 donc la propriété est vraie au rang p=0 puisque arg(z0)arg(1)0 [2π]   et   0×arg(z)0 [2π] .

Hérédité
Soit nN tel que arg(zn)narg(z) [2π] . On a alors arg(zz)arg(z)+arg(z) [2π] :
arg(zn+1)arg(zn×z)arg(zn)+arg(z) [2π]   d'après la propriété du produitnarg(z)+arg(z) [2π]   par hypothèse de récurrence(n+1)arg(z) [2π]

Conclusion
Par récurrence, pour tout nN , arg(zn)narg(z) [2π] .

  •   Argument d'un inverse

On a arg(z×1z)arg(1)0 [2π] , donc, d'après la propriété du produit :
arg(z)+arg(1z)0 [2π]  et donc arg(1z)arg(z) [2π] .

  •   Argument d'un quotient

On a arg(zz)arg(z×1z)arg(z)+arg(1z)arg(z)arg(z) [2π]
en utilisant les propriétés du produit et de l'inverse.

Source : https://lesmanuelslibres.region-academique-idf.fr
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