Propriétés algébriques de l'argument

P roposition

Soit  $z$ et  $z^{\prime }$ deux nombres complexes non nuls. Soit $n\in \mathbb{N}$ . On a :

• $\arg (z\times z^{\prime })\equiv \arg (z)+\arg (z^{\prime })[2\pi ]$
  
• $\arg (z^n)\equiv n\times \arg (z)[2\pi ]$
  
• $\arg \left({\displaystyle \frac{1}{z}}\right)\equiv -\arg (z)[2\pi ]$
  
• $\arg \left({\displaystyle \frac{z^{\prime }}{z}}\right)\equiv \arg (z^{\prime })-\arg (z)[2\pi ]$
  

Démonstration

On note $z=x+iy$ et $z^{\prime }=x^{\prime }+i{y}^{\prime }$ avec $x,y,x^{\prime }$ et  $y^{\prime }$ des réels.

On note $\theta$  un argument de  $z$ et ${\theta }^{\prime }$ un argument de $z^{\prime }$ , si bien que :
$\begin{array}{r}z=\left|z\right|(\cos (\theta )+i\sin (\theta ))\text{ et }{z}^{\prime }=\left|z^{\prime }\right|(\cos ({\theta }^{\prime })+i\sin ({\theta }^{\prime })).\end{array}$

• Argument d'un produit
  

 On a :
$\begin{array}{rl}z{z}^{\prime }& =\left|z\right|(\cos (\theta )+i\sin (\theta ))\times \left|z^{\prime }\right|(\cos ({\theta }^{\prime })+i\sin ({\theta }^{\prime }))\\ & =\left|z{z}^{\prime }\right|(\cos (\theta )+i\sin (\theta ))(\cos ({\theta }^{\prime })+i\sin ({\theta }^{\prime }))\\ & =\left|z{z}^{\prime }\right|(\cos (\theta )\cos ({\theta }^{\prime })+i\cos (\theta )\sin ({\theta }^{\prime })+i\sin (\theta )\cos ({\theta }^{\prime })-\sin (\theta )\sin ({\theta }^{\prime }))\\ & =\left|z{z}^{\prime }\right|(\underset{=\cos (\theta +{\theta }^{\prime })}{\underbrace{\cos (\theta )\cos ({\theta }^{\prime })-\sin (\theta )\sin ({\theta }^{\prime })}}+i\underset{=\sin (\theta +{\theta }^{\prime })}{\underbrace{(\sin (\theta )\cos ({\theta }^{\prime })+\sin ({\theta }^{\prime })\cos (\theta ))}})\\ & =\left|z{z}^{\prime }\right|(\cos (\theta +{\theta }^{\prime })+i\sin (\theta +{\theta }^{\prime }))\end{array}$
d'après les formules d'addition.

On note $\alpha$ un argument de $z{z}^{\prime }$ . On a alors : $z{z}^{\prime }=\left|z{z}^{\prime }\right|(\cos (\alpha )+i\sin (\alpha ))$ .

Par unicité de la forme algébrique, on en déduit que :
$\begin{array}{r}\cos (\alpha )=\cos (\theta +{\theta }^{\prime })\text{ et }\sin (\alpha )=\sin (\theta +{\theta }^{\prime })\end{array}$
donc $\alpha \equiv \theta +{\theta }^{\prime }[2\pi ]$ , autrement dit $\arg (z{z}^{\prime })\equiv \arg (z)+\arg (z^{\prime })[2\pi ]$ .

• Argument d'une puissance
  

Montrons par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$ , $arg(z^n)\equiv n\arg (z)[2\pi ]$ .

Initialisation
Par convention, pour tout  $z\in \mathbb{C},$ $z^0=1$ donc la propriété est vraie au rang $p=0$ puisque $\arg (z^0)\equiv \arg (1)\equiv 0[2\pi ]$   et   $0\times \arg (z)\equiv 0[2\pi ]$ .

Hérédité
Soit $n\in \mathbb{N}$ tel que $\arg (z^n)\equiv n\arg (z)[2\pi ]$ . On a alors $\arg (z{z}^{\prime })\equiv \arg (z)+\arg (z^{\prime })[2\pi ]$ :
$\begin{array}{rl}\arg (z^{n+1})\equiv \arg (z^n\times z)& \equiv \arg (z^n)+\arg (z)[2\pi ]\text{ d'après la propriété du produit}\\ & \equiv n\arg (z)+\arg (z)[2\pi ]\text{ par hypothèse de récurrence}\\ & \equiv (n+1)\arg (z)[2\pi ]\end{array}$

Conclusion
Par récurrence, pour tout $n\in \mathbb{N}$ , $\arg (z^n)\equiv n\arg (z)[2\pi ]$ .

•   Argument d'un inverse
  

On a $\arg (z\times {\displaystyle \frac{1}{z}})\equiv \arg (1)\equiv 0[2\pi ]$ , donc, d'après la propriété du produit :
$\arg (z)+\arg \left({\displaystyle \frac{1}{z}}\right)\equiv 0[2\pi ]$  et donc $\arg \left({\displaystyle \frac{1}{z}}\right)\equiv -\arg (z)[2\pi ]$ .

•   Argument d'un quotient
  

On a $\arg \left({\displaystyle \frac{z^{\prime }}{z}}\right)\equiv \arg (z^{\prime }\times {\displaystyle \frac{1}{z}})\equiv \arg (z^{\prime })+\arg \left({\displaystyle \frac{1}{z}}\right)\equiv \arg (z^{\prime })-\arg (z)[2\pi ]$
en utilisant les propriétés du produit et de l'inverse.