Propriétés algébriques de l'argument

P roposition

Soit  `z` et  `z'` deux nombres complexes non nuls. Soit \(n \in \mathbb{N}\) . On a :

• \(\arg(z \times z') \equiv \arg(z)+\arg(z') \ [2\pi]\)
  
• \(\arg(z^n) \equiv n \times \arg(z) \ [2\pi]\)
  
• \(\arg\left(\dfrac{1}{z}\right) \equiv -\arg(z) \ [2\pi]\)
  
• \(\arg\left(\dfrac{z'}{z}\right) \equiv \arg(z')-\arg(z) \ [2\pi]\)
  

Démonstration

On note `z=x+iy` et `z'=x'+iy'` avec \(x,~y,~x'\) et  `y'` des réels.

On note `\theta`  un argument de  `z` et `\theta'` un argument de `z'` , si bien que :
\(\begin{align*} z=\left\vert z \right\vert \left(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\right) \ \ \text{ et } \ \ z'=\left\vert z' \right\vert \left(\cos(\theta')+i\sin(\theta')\right). \end{align*}\)

• Argument d'un produit
  

 On a :
\(\begin{align*} zz' & =\left\vert z \right\vert \left(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\right) \times \left\vert z' \right\vert \left(\cos(\theta')+i\sin(\theta')\right) \\ & =\left\vert zz' \right\vert \left(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\right)\left(\cos(\theta')+i\sin(\theta')\right) \\ & =\left\vert zz' \right\vert \left(\cos(\theta)\cos(\theta')+i\cos(\theta)\sin(\theta')+i\sin(\theta)\cos(\theta')-\sin(\theta)\sin(\theta')\right) \\ & =\left\vert zz' \right\vert ( \underbrace{\cos(\theta)\cos(\theta')-\sin(\theta)\sin(\theta')}_{=\cos(\theta+\theta')} +i \underbrace{\left(\sin(\theta)\cos(\theta')+\sin(\theta')\cos(\theta)\right)}_{=\sin(\theta+\theta')} ) \\ & =\left\vert zz' \right\vert \left(\cos(\theta+\theta') +i\sin(\theta+\theta')\right) \end{align*}\)
d'après les formules d'addition.

On note `\alpha` un argument de `zz'` . On a alors : \(zz'=\left\vert zz' \right\vert \left(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha)\right)\) .

Par unicité de la forme algébrique, on en déduit que :
\(\begin{align*} \cos(\alpha)=\cos(\theta+\theta') \ \ \text{ et } \ \ \sin(\alpha)=\sin(\theta+\theta') \end{align*}\)
donc \(\alpha \equiv \theta+\theta' \ [2\pi]\) , autrement dit \(\arg(zz') \equiv \arg(z)+\arg(z') \ [2\pi]\) .

• Argument d'une puissance
  

Montrons par récurrence que, pour tout `n \in \mathbb{N}` , \(arg(z^n) \equiv n\arg(z) \ [2\pi]\) .

Initialisation
Par convention, pour tout  \(z \in \mathbb{C},\) `z^0=1` donc la propriété est vraie au rang `p=0` puisque \(\arg(z^0) \equiv \arg(1) \equiv 0 \ [2\pi]\)   et   \(0 \times \arg(z) \equiv 0 \ [2\pi]\) .

Hérédité
Soit \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(\arg(z^n) \equiv n\arg(z) \ [2\pi]\) . On a alors \(\arg(zz') \equiv \arg(z)+\arg(z') \ [2\pi]\) :
\(\begin{align*} \arg(z^{n+1}) \equiv \arg(z^n \times z) & \equiv \arg(z^n)+\arg(z) \ [2\pi] \ \ \text{ d'après la propriété du produit} \\ & \equiv n\arg(z)+\arg(z) \ [2\pi] \ \ \text{ par hypothèse de récurrence} \\ & \equiv (n+1)\arg(z) \ [2\pi] \end{align*}\)

Conclusion
Par récurrence, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , \(\arg(z^n) \equiv n\arg(z) \ [2\pi]\) .

•   Argument d'un inverse
  

On a \(\arg \left( z \times \dfrac{1}{z}\right) \equiv \arg(1) \equiv 0 \ [2\pi]\) , donc, d'après la propriété du produit :
\(\arg(z)+\arg\left(\dfrac{1}{z}\right) \equiv 0 \ [2\pi]\)  et donc \(\arg\left(\dfrac{1}{z}\right) \equiv -\arg(z) \ [2\pi]\) .

•   Argument d'un quotient
  

On a \(\arg\left(\dfrac{z'}{z}\right) \equiv \arg\left(z' \times \dfrac{1}{z} \right) \equiv \arg(z')+\arg\left(\dfrac{1}{z}\right) \equiv \arg(z')-\arg(z) \ [2\pi]\)
en utilisant les propriétés du produit et de l'inverse.